Specmat modulok

Ez a rész három különböző típusú modult tartalmaz, melyek közül az egyes csoportok tudásszintjének, érdeklődésének megfelelően lehet választani:

  • A modul: A matematika tagozaton minden csoportban kötelező elvégezni, ütemezésük a csoport képességétől függ.

  • B modul: Haladó témák, az egyes csoportok tudásszintjének, érdeklődésének megfelelően lehet közülük választani.

  • C modul: Olyan témák, amelyek nem a matematika egy ágához kötve jelennek meg, hanem mint "gyakorlati" problémák, alkalmazási területek. Évente legalább egy ilyen modul elvégzése kötelező.

A és B modulok

Halmazok

  • Halmazok számossága [halm01] (A) (15 óra)
    Ismerkedés a végtelen halmazokkal. (Minden végtelen halmaznak van megszámlálhatóan végtelen részhalmaza.) Tetszőlegesen sok" és "végtelen sok" közti különbség. A megszámlálhatóan végtelen. Az egész számok és a természetes számok halmaza között van egy-egy értelmű leképezés. A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen. A természetes számokkal ill. a valós számokkal ekvivalens halmazok. A valós számok halmaza nem megszámlálható. A megszámlálható és a kontinuum számosság. Egyenes, szakasz (nyílt és zárt), körvonal pontjainak halmaza, körlemez és négyzet, háromszög és négyzet, stb., gömbfelület és sík, stb. poliéder és gömb, stb. pontjainak halmaza között egy-egyértelmű leképezés van. Valós számok és végtelen hosszú 0-1 sorozatok ekvivalenciája.

Algebra

  • Összegek és szorzatok kiszámítása [ alg01 ] (A) (10 óra)
    n természetes szám, négyzetszám, köbszám összege, teleszkópösszegek, a teljes indukció gyakorlására szolgáló feladatok, érdekesebb szorzatok.

  • Polinomok [ alg02 ] (A) (15 óra)
    Magasabb fokú egyenletek megoldása. (Helyettesítéssel másodfokúra visszavezethető, szimmetrikus egyenletek). Viete-formulák. Magasabb fokú egyenletek racionális gyökei. Polinomok osztása, Horner-elrendezés. Polinomok szorzattá alakítása.

  • Komplex számok [ alg03 ] (A) (15 óra)
    A komplex számok testének alaptulajdonságai, trigonometrikus alak, hatványozás, gyökvonás, egységgyökök. A harmadfokú egyenlet megoldása. A negyedfokú egyenlet megoldása. Gauss-egészek.

  • Interpoláció és approximáció [ alg04 ] (B) (10 óra)
    Függvények illesztése adatpontokra. Polinomok és más görbék. Függvénytábla készítés: hiányzó függvényértékek becslése.

  • Polinomok számelmélete [ alg05 ] (B) (10 óra)
    A számelmélet felépítése különböző polinomgyűrűkben. Irreducibilis polinomok. Körosztási polinom.

  • Csoportelmélet [ alg06 ] (B) (15 óra)
    A csoportelmélet alapjai permutációkon, transzformációkon, műveleteken, számelméletben.

  • Gyűrűk [ alg07 ] (B) (10 óra)
    A gyűrű definíciója, számolási szabályok. Számelmélet különböző gyűrűkben.

Számelmélet

  • Kongruenciák [ szamelm01 ] (A) (20 óra)
    Kongruenciák tulajdonságai, alkalmazásai oszthatósági feladatokban. Fermat­-tétel, Euler­-tétel, Wilson­-tétel. Maradékosztályok, műveletek maradékosztályokkal.

  • Számelméleti függvények [ szamelm02 ] (A) (15 óra)
    További számelméleti függvények (d(n) függvény, szigma(n)) függvény). Tökéletes számok, Fermat-prímek, Mersenne-prímek. Prímek eloszlása.

  • Kongruenciák 2. [ szamelm03 ] (B) (10 óra)
    Kongruenciák haladó alkalmazásai. Kvadratikus kongruenciák megoldása prím modulus esetén, kínai maradék tétel.

  • Diofantikus egyenletek [ szamelm04 ] (B) (10 óra)
    Diofantikus egyenletek. Pell­egyenlet. Lineáris és magasabb fokú diofantikus egyenletek megoldása. Pitagoraszi számhármasok. Fermat­-sejtés és Wiles­-tétel.

Függvények és analízis

  • Érdekes sorozatok [ fv01 ] (A) (10 óra)
    Háromszögszámok,...,k­-szög számok, piramidális számok és tulajdonságaik, Fibonacci­-sorozat és tulajdonságai (összegek, oszthatóság, kapcsolat a Pascal háromszöggel).

  • Számsorozatok [ fv02 ] (A) (20 óra)
    Konvergens és divergens sorozatok, az e szám (1+1/n)n, e irracionális, 1+1/2+1/3+...+1/n­ - ln n, rekurzióval definiált sorozatok és tulajdonságaik, Newton­-iteráció

  • Trigonometrikus függvények inverzei [ fv03 ] (A) (20 óra)
    Definíció, tulajdonságok, grafikonok, egyenletek, egyenlőtlenségek.

  • Hiperbolikus függvények és inverzeik [fv04 ] (A) (5 óra)
    Definíció, tulajdonságok, grafikonok, egyenletek, egyenlőtlenségek.

  • Az integrál további alkalmazásai [ fv05 ] (A) (10 óra)
    Példák paraméteresen adott görbék által határolt tartományok területére is. Ívhossznál az elliptikus integrál megemlítése. Tórusz, ellipszoid, forgásparaboloid térfogata.Integrál, összegek és becslések. Stirling­-formula.

  • Síkgörbék tulajdonságai [ fv06 ] (B) (15 óra)
    Síkgörbék vizsgálata a differenciálszámítás eszközeivel. Paraméteres görbék, polárkoordináták. Ciklois, lemniszkáta, ...

  • Végtelen sorok [ fv07 ] (B) (10 óra)
    Végtelen sorok (például mértani sor), konvergencia kritériumok pozitív tagú sorozatokra, váltakozó előjelű sorok, Leibniz­-típusú sor.

  • Hatványsorok [ fv08 ] (B) (10 óra)
    Hatványsorok és alkalmazásaik. Konvergencia­sugár, konvergencia tartomány, műveletek. Taylor­-sor, elemi sorfejtések, alkalmazásaik közelítő számításokra, generátor függvényekre.

  • Lánctörtek [ fv09 ] (B) (10 óra)
    Véges és végtelen lánctörtek, példák lánctört alakra (gyök(2),...). Kapcsolat az euklideszi algoritmussal, közelítő számításokkal.

Geometria

  • Egybevágósági transzformációk egymásutánja [ geo01 ] (A) (10 óra)
    Alkalmazás szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Egybevágósági transzformációk osztályozása.

  • Hasonlósági transzformációk, forgatva nyújtás [ geo02 ] (A) (10 óra)
    Alkalmazás szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Hasonlósági transzformációk osztályozása.

  • Inverzió [ geo03 ] (A) (15 óra)
    Az inverzió definíciója és tulajdonságai. Alkalmazások szerkesztési és bizonyítási feladatokban.

  • Kúpszeletek és mértani helyek [ geo04 ] (A) (10 óra)
    Kúpszeletek fogalma és elemei geometriával bizonyítható tulajdonságai.

  • Affin és projektív transzformációk [ geo05 ] (B) (10-10 óra)
    Affin és projektív transzformációk. Osztóviszony, kettősviszony. Pascal, Desargues, Papposz.

  • 2d-3d analógiák [ geo06 ] (B) (10 óra)
    Sík­-tér, háromszög­-tetraéder, paralelogramma­-paralelepipedon.

  • Gömbi geometria [ geo07 ] (B) (10 óra)
    A geometria fogalmainak szemléletes felépítése gömbön, elemi geometriai tételek megsejtése és bizonyítása.

  • Szerkesztés térben [ geo08 ] (B) (15 óra)
    Ábrázoló geometria.

Analitikus geometria

  • Vektorszorzások [ ageo01 ] (A) (15 óra)
    Skaláris, vektoriális és vegyesszorzat. Fizikai alkalmazások (forgatónyomaték, Lorentz­-erő, stb.)

  • Geometria a komplex számsíkon [ ageo02 ] (A) (10 óra)
    A komplex számok alkalmazása geometriai bizonyításokban.

  • Transzformációk és mátrixok [ ageo03 ] (B) (15 óra)
    Transzformációk mátrixa két és háromdimenziós esetben.

  • Másodrendű görbék [ ageo04 ] (B) (15 óra)
    Másodrendű görbék osztályozása.

  • Projektív geometria és homogén koordináták [ ageo05 ] (B) (10 óra)
    Homogén koordináták bevezetése. Projektív tételek analitikus levezetése. Alkalmazások.

  • Gömbi trigonometria [ ageo06 ] (B) (15 óra)
    Szinusz és koszinusztétel gömbön. Távolságok és szögek meghatározása földrajzi koordináták alapján. Terület.

Lineáris algebra

  • Determinánsok, egyenletrendszerek [ linalg01 ] (A) (15 óra)
    Determináns fogalma, tulajdonságai, kiszámítása. Sarrus-­szabály. Érdekes / nevezetes determinánsok. Determinánsok és egyenletrendszerek. Gauss­-elimináció. Cramer­-szabály.

  • Mátrixok [ linalg02 ] (A) (10 óra)
    Mátrixműveletek. Rang. Mátrix és egyenletrendszerek. Mátrix­-szorzás és lineáris transzformációk.

  • Lineáris programozás [linalg03] (A) (10 óra)
    Lineáris célfüggvény optimalizálása két és három változóban. Megengedett pontok halmazának ábrázolása. Célfüggvény változása a megengedett halmazban lépdelve.

  • Mátrixok 2. [linalg04] (B) (10 óra)
    Sajátérték és sajátvektor, mátrixok hatványozása.

Statisztika és valószínűségszámítás

  • Feltételes valószínűség [ val01 ] (A) (10 óra)
    Feltételes valószínűség, Bayes-tétel.

  • Geometriai valószínűség [ val02 ] (A) (10 óra)
    A valószínűség fogalma végtelen és nem megszámlálható eseménytér esetén. Találkozási feladatok. Darabolási feladatok.

  • Diszkrét eloszlások és várható érték [ val03 ] (A) (10 óra)
    Binomiális, negatív binomiális, geometriai, hipergeometrikus eloszlás. Várható érték, szórás.

  • Leíró statisztika [ val04 ] (A) (10 óra)
    Adatok szemléletes ábrázolása. Táblázatok és grafikonok. Lineáris regresszió, legkisebb négyzetek módszere, korreláció.

  • Bolyongások és Markov-láncok [ val05 ] (B) (10 óra)
    Szimmetrikus és nem szimmetrikus bolyongások. Visszatérési probléma. Tönkremenési probléma.

  • Folytonos eloszlások [ val06 ] (B) (10 óra)
    Normális eloszlás, exponenciális eloszlás. Várható érték és szórás. Az improprius integrál alkalmazása.

Algoritmusok

Az algoritmusok egy részét informatika órán tanulják meg a diákok. Nem kell az itt felsorolt összes algoritmust megtanítani, de fontos az algoritmikus szemlélet fejlesztése.

  • Számítási algoritmusok [ algo01 ] (A-B) (10 óra)
    Összeadás, kivonás, szorzás és maradékos osztás papíron. Gyökvonás papíron. LNKO euklideszi algoritmussal. Gyors hatványozás mod n. Prímfelbontás és prímtesztek. Egyiptomi törtek algoritmusai. Átváltás számrendszerek között.

  • Kombinatorikai algoritmusok [ algo02 ] (A-B) (10 óra)
    Permutációk, variációk és kombinációk felsorolása. Felsorolás minimális változással. Partíciók felsorolása (egész számé és halmazé). Utak felsorolása rácsokon. Korlátozott utak felsorolása, például Catalan­számok. Visszalépéses keresés. Rendezés, rendezési algoritmusok minimális cserével, rendezési algoritmusok korlátozott lépésekkel. Keresések, keresési algoritmusok.

  • Gráfalgoritmusok [ algo03 ] (A-B) (10 óra)
    Gráfok reprezentációi: szomszédsági gráf és éllista. Gráfbejárások: szélességi és mélységi bejárás. Minimális összsúlyú feszítőfa. Legrövidebb utak élsúlyozott gráfokban. Topologikus rendezés. Prüfer­-kód és fák felsorolása. Huffman-­kód és fák. Esetleg: folyam algoritmusok.

  • Algoritmusok bonyolultsága [algo04] (B) (5 óra)
    Algoritmusok hatékonyságának elemzése matematikai módszerekkel. Bonyolultsági osztályok.


C modulok

Jól használhatók azok a 2-4 hetes témák, amelyek nem a matematika egy ágához kötve jelennek meg, hanem mint "gyakorlati" probléma. Fontos megjegyezni, hogy egy-egy téma kifejtésének mélysége attól függ, mennyit tanítottunk meg a szükséges eszközökből. Akkor érdemes elővenni egy témát, ha már tudnak annyit a diákok, hogy önálló felfedezéseket tehessenek, érezhessék, hogy matematikai alapjaik elegendőek a problémakör tartalmas feldolgozásához. Javaslat: Minden évben legyen legalább egy ilyen modul. Feltehetően 10. és 11. évfolyamon növelhető a C-modulok aránya, hiszen ekkorra már elég szélesek és erősek a matematikai alapok, és még nem kell az érettségi felkészülésre koncentrálni. Javasolt óraszám a C-modulokhoz: 10 óra, ez nagyjából három tanítási hétnek felel meg, legalább két hétvégével.

  • C01 Helymeghatározás

  • C02 Környezeti nevelés

  • C03 Választási matematika

  • C04 Ütemezési feladatok, folyamatirányítás

  • C05 Origami

  • C06 Fraktálok

  • C07 Szimmetriák

  • C08 Egyiptomi törtek

  • C09 Számrendszerek és naptárproblémák

  • C10 Titkosírások

  • C11 Számítógépi grafika

  • C12 Rácsgeometria

  • C13 "Sokszínű logika", adatok ábrázolása okosan

  • C14 Szerencsejátékok

  • C15 Térképek

  • C16 Formális nyelvek

  • C17 Pénzügyi matematika (kamat, jelenérték, biztosítás, kockázat és hozam)

  • C18 Káoszelmélet

  • C19 Gépi számábrázolás és aritmetika

  • C20 Periodikus és nem periodikus csempézések

  • C21 Lineáris programozás és optimalizálás

  • C22 Sajtó és internetes szövegek (formális) logikai elemzése

  • C23 Játékelmélet

  • C24 Diszkrét játékok nyerő stratégiája

  • C25 Logika, logikai kapu, logikai áramkörök

  • C26 Genetika, öröklődés

  • C27 Differenciálegyenletek

A modul-lista folyamatosan bővül a tagozaton tanító tanárok által kidolgozott témákkal.