Specmat alapok

7. osztály

Halmazok 1.

A halmazalgebra elemi fogalmai és műveletei konkrét számhalmazokon. Halmaz megadása. Halmaz, elem, részhalmaz, üres halmaz, halmazok uniója, metszete, különbsége, komplementere (konkrét esetekben). Halmazok szemléltetése Venn­-diagrammon, egész számok osztályozása oszthatósági tulajdonságaik alapján. Véges halmazok elemszáma, logikai­ szita (2,3 halmazra).

Kombinatorika 1.

Az összes eset rendszerezett felsorolása. Változatos kombinatorikai feladatok megoldása különféle módszerekkel. Sorbarendezés (n! fogalma), kiválasztás néhány elem esetén. Skatulya elv.

Gráfelmélet 1.

A gráfelmélet egyszerű alapfogalmai (gráf, csúcs, él, pont fokszáma, izomorfia, teljes gráf, komplementer ) és a gráfok felhasználása feladatmegoldásokban (pl.: ismeretségre vonatkozó egyszerű feladatok).

Számelmélet 1.

Páros, páratlan. Az oszthatóság definíciója és elemi tulajdonságai (bizonyítás nélkül). Oszthatósági szabályok ( szemléletes bizonyítás). Prímszámok, eratosztenészi szita; pozitív egész számok prímtényezős felbontása. Pozitív egész kitevőjű hatványozás, azonosságok

(bizonyítva). Négyzet­ és köbszámok, legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös. Osztók számának meghatározása.

Számfogalom 1.

Természetes számok, egész számok, racionális számok halmaza. Számolási feladatok. Műveletek tulajdonságai. Valós számok, számegyenes intervallumok (legalább, legfeljebb...), „szomszédos” számok, végtelen. Abszolút érték fogalma.

Algebra 1.

Betűk célszerű használata, algebrai kifejezésekkel való számolás egyszerű azonosságok (zárójelfelbontás, disztributivitás, (ab)², (a+b)(a­b), (a+b)² átalakítása), egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása, megoldás halmaz. Egyenes és fordított arányosság, százalékszámítás. Szöveggel megadott egyszerűbb feladatok lefordítása az algebra nyelvére, egyenletek felállítása.

Függvények, analízis 1.

Derékszögű koordinátarendszer (hozzárendelések, grafikonok). A függvényfogalom megalapozása egyszerű példák alapján, értelmezési tartomány, értékkészlet. Egyszerűbb függvények (a lineáris­, az abszolútérték­, 1/x, előjel­, egészrész­, törtrész függvény )

ábrázolása. Egyszerű egyenletek és egyenlőtlenségek grafikus megoldására. Egyszerű kémiai, fizikai példák függvényekre, ezek szemléltetése. |x|+|y| <= 1; |x| > |y| típusú feltételekkel megadott halmazok ábrázolása.

Geometriai szemlélet fejlesztése 1.

Egyszerű kombinatorikus geometria feladatok (hány részre osztja....). Poliminók (lefedések...). Feladatok kockával (hálók, vetületek, térfogat, felszín, csonkolások...) Térgeometriai alapozás. Szabályos testek, Euler tétel (Polydron készlet segítségével)

Geometria 1.

Alapfogalmak (pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete). Szögek, nevezetes szögpárok. Háromszög belső­ és külső szögeinek összege. Szögszámolások. Távolság (háromszög egyenlőtlenség, merőlegesség). Ponthalmazok (kör, szakaszfelező merőleges,

szögfelező). Háromszög nevezetes vonalai (oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, súlyvonal), nevezetes pontjai (köréírható kör középpontja, beírható kör középpontja (bizonyítással), magasságpont, súlypont (biz. nélkül)). Köréírható kör (Thalesz kör (biz. nélkül)) Háromszög szerkesztési feladatok. Egyenlő szárú és szabályos háromszög nevezetes vonalai, pontjai. Nevezetes derékszögű háromszögek (egyenlőszárú, 30^o,60^o,90^o,15^o)

Geometria 2.

Négyszögek, speciális négyszögek elemi tulajdonságai. Négyszögek belső­ és külső szögeinek összege. Négyszögek szerkesztése. Sokszögek átlói, belső­ és külső szögeinek összege. Szimmetrikus síkidomok.(csempézések és szimmetriák)

Geometria 3.

Kerület. Terület (téglalap, derékszögű háromszög, paralelogramma, trapéz, háromszög, deltoid...). Átdarabolások.

Geometria 4.

Egybevágósági transzformációk. Szerkesztési és bizonyítási feladatok (pl. legrövidebb út keresése). Háromszögek egybevágósága. Egybevágósági feladatok.

8. osztály

Gráfelmélet 2.

Az alapfogalmak bővítése, új fogalmak előkészítése (összefüggő gráf, fa és faváz, irányított gráf, páros gráf stb.). Gráfok bejárása (Euler-vonal (kör és út), Hamilton út és kör). Ramsey-típusú tételek egyszerű esetekben.

Valószínűségszámítás 1.

Ismerkedés a valószínűség fogalmával egyszerű kísérletek, játékok elemzése kapcsán. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A kombinatorikus módszerekkel megoldható konkrét valószínűségszámítási feladatok egyszerű esetei. Események lehetetlen, biztos esemény komplementer esemény. Műveletek események között szemléletesen ( P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) konkrét feladatokban ).

Számelmélet 2.

Műveletek (osztási) maradékokkal. Négyzetszámok maradékai, végződések, oszthatósági feladatok. Az euklideszi algoritmus alkalmazása két szám ln.k.o.-jának megkeresésére konkrét esetekben. Osztók száma. d(n) = k alakú egyenletek megoldása. Számrendszerek. Műveletek és oszthatósági szabályok. A prímek száma végtelen.

Számfogalom 2.

Negatív kitevőjű hatványozás, normál alak, mértékegységek átváltása, nagy számok. Négyzetgyök fogalma, azonosságai.

Logika 1.

Állítások tagadása, kijelentések közötti "és", "vagy" kapcsolatok, Z, N, Q, R jelölések használata egyszerű következtetések helyességének vizsgálata, szükséges és elégséges feltételek, implikáció, ekvivalencia A "minden" és "van olyan" kvantorok használata rövidítésként. Összetett állítások tagadása. Igazságtáblázatok. De Morgan – szabályok.

Algebra 2.

Teljes négyzet. Teljes köb. Nevezetes azonosságok, szorzattá alakítás és ennek szerepe egyenletek megoldásában. Teljes négyzetté alakítás. Algebrai törtekkel való számolás (bővítés, egyszerűsítés, közös nevezőre hozás) Abszolút értékes egyenletek. Lineáris két ismeretlenes egyenletrendszerek megoldása.

Függvények, analízis 2.

Másodfokú-, gyök-, lineáris törtfüggvény. Függvény transzformációk. Függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, értékkészlet, szélsőérték, monotonitás, zérushely, páros, páratlan).

Geometria 5.

Egybevágósági transzformációk ismétlése elmélyítése. Egybevágósági transzformációk egymásutánja. Szerkesztési és bizonyítási feladatok,egybevágósági feladatok elmélyítése. Háromszög- és négyszögszerkesztési feladatok, mértani helyes szerkesztési feladatok. Példák nem egybevágósági transzformációkra (merőleges vetítés, stb.).

Geometria 6.

A kör (kerület, terület (biz. nélkül), részei, ívmérték). Thalesz tétel (bizonyítással). Kör érintője, két kör közös érintői, adott kört és egyenest érintő kör szerkesztése. Érintőnégyszög. Háromszög beírt- és hozzáírt köre. (terület, érintő szakaszok hossza). Szerkesztési feladatok. Pitagorasz tétel (többféle bizonyítással).

Geometria 7.

Párhuzamos szelők tétele (bizonyítás racionális arányig). Középpontos hasonlóság. Háromszögek hasonlósági alapesetei.

Analitikus geometria 1.

Vektorokkal végzett alapműveletek (síkban és térben) és alkalmazásaik. Vektorok összeadása, kivonása, számmal való szorzása. Vektor hossza, két pont távolsága. Vektor felbontása adott irányú összetevőkre. Számolás vektorokkal a vektorműveletek és a koordináták kapcsolata vektorok alkalmazása egyszerű bizonyítási és számításos feladatokban. Fizikai alkalmazások (elmozdulás, sebesség, erő).

9. osztály

Halmazok 2.

Halmaz megadási módjai. A halmazműveletek tulajdonságai a halmazalgebra. Újabb halmazműveletek szimmetrikus differencia , Descartes-szorzat. A halmazműveletek (unió, metszet,) kommutativitása, asszociativitása disztributivitás. De Morgan - szabály. Logikai-szita.

Kombinatorika 2.

Permutáció, kombináció, variáció (ismétléses, ismétlés nélküli). Pascal háromszög tulajdonságai. Binomiális tétel.

Számelmélet 3.

Kongruencia fogalma, tulajdonságai. Lineáris kongruenciák és a lineáris diofantoszi egyenletek. További (nem lineáris) diofantoszi egyenletek.

Számfogalom 3.

Közönséges törtek átírása tizedes tört alakba és vissza. Racionális, irracionális számok, műveletek.

Algebra 3.

Másodfokú egyenlet megoldóképlete gyökök és együtthatók közti összefüggés gyöktényezős alak. Másodfokú és másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenlőtlenségek egyenletrendszerek, egyenlőtlenségrendszerek megoldása, szöveges feladatok. Első és másodfokú paraméteres egyenletek. Gyökös egyenletek, egyenlőtlenségek.

Sorozatok, analízis 3.

Egyszerűbb rekurzióval definiált sorozatok (Fibonacci sorozat). Teljes indukció. A számtani, mértani közép (két tagra). Számtani és mértani sorozat jellemzőik.

Trigonometria 1.

Szögfüggvények derékszögű háromszögben. Egyszerű trigonometrikus összefüggések (sin²x+cos²x=1, sin(90°-x)=cos x ) Alkalmazások (emelkedési szög, depresszió szög, háromszög területe).

Geometria 8.

Háromszögek, négyszögek hasonlósága. Hasonló alakzatok területe. Nevezetes tételek háromszögekben (középvonal, súlyvonal, súlypont, szögfelező tétel, befogó tétel, magasság tétel.)

Geometria 9.

Kerületi és középponti szögek. Húrnégyszögek. (Talpponti háromszög, Ptolemaiosz tétele, Simson egyenes, Euler-egyenes Feuerbach kör…). Pont körre vonatkozó hatványa.

Analitikus geometria 2.

Osztópont, súlypont (magasságpont, Euler-egyenes, Feuerbach-kör). Elforgatás.

Statisztika 1.

Adatok gyűjtése, adathalmazok szemléltetése (táblázattal, diagramokkal (oszlop, kör, hisztogram stb.)). A leíró statisztika alapfogalmai (gyakoriság, relatív gyakoriság, osztályba sorolás stb.) Az átlag, a medián és a módusz fogalma.

10. osztály

Algebra 4.

A számtani és mértani, a harmonikus és a négyzetes közép közti egyenlőtlenség általános esetben. További nevezetes egyenlőtlenségek. Az egyenlőtlenségek alkalmazása szélsőérték feladatokban. Szöveges szélsőérték feladatok megoldása (másodfokú függvény tulajdonságaira visszavezethetők is).

Algebra 5.

n-edik gyök, racionális kitevő, irracionális kitevő, azonosságok. Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek. Logaritmus fogalma, azonosságok. Logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek. Gyakorlati alkalmazások (kamatos kamat, fizikai és kémiai törvények)

Sorozatok, analízis 4.

Sorozatok monotonitása, korlátossága, a konvergencia fogalmának előkészítése (párhuzamos szelők tétele irracionális arány esetén, terület, pi, példák a matematika különböző területeiről). Az e definíciója, az (1+1/n)ⁿ sorozat.

Függvények, analízis 5.

Exponenciális-, logaritmus függvény. Az inverz függvény fogalma.

Trigonometria 2.

Szögfüggvények kiterjesztése. Trigonometrikus függvények. Periodikus függvények. Különböző szögfüggvények közötti összefüggések. Addíciós tételek. Trigonometrikus egyenletek egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek.

Trigonometria 3.

Sinus tétel, cosinus tétel és alkalmazásai.

Analitikus geometria 3.

Skaláris szorzat. Fizikai alkalmazások (munka). Egyenes-, sík egyenlete. (irányvektor, normálvektor, meredekség). Egyenesek metszéspontja. Párhuzamos és merőleges egyenesek. Háromszög nevezetes vonalainak egyenlete.

Analitikus geometria 4.

Kör egyenlete. Körök egyenesek metszéspontja, kör érintői, hatványvonal. Háromszög nevezetes köreinek egyenlete. Mértani helyek (pl. Apollonius kör).

Térgeometria 1.

Térelemek hajlásszöge és távolsága. Kocka, téglatest, hasáb, paralelepipedon, tetraéder, gúla nevezetes vonalai, síkmetszetei. Tetraéder nevezetes pontjai, körei, nevezetes tetraéderek.

Valószínűségszámítás 2.

Egyszerű eloszlások. Elemi események, klasszikus valószínűségi modell. Geometriai valószínűség. Eseménytér. Diszkrét valószínűségi változó. Binomiális eloszlás, hipergeometrikus eloszlás. Várható érték. A modellezés, mint matematikai tevékenység. Modellezés egyszerűbb esetekben. A nagy számok törvényének jelentése. A valószínűség biológiai alkalmazásai.

11. osztály

Függvények, analízis 6.

Sorozatok konvergenciája. Függvényhatárérték, folytonosság. Derivált fogalma. Differenciálási szabályok. Monotonitás, szélsőérték, helyi szélsőérték, konvexitás vizsgálata az első és második deriváltfüggvénnyel. A deriválási szabályok alkalmazása teljes függvényvizsgálat szélsőértékfeladatok, szöveges feladatok megoldása is (a megfelelő analízisbeli modell megtalálása).

Geometria 10.

Kúpszeletek elemi geometriai tárgyalása. Merőleges affinitás.

Analitikus geometria 4.

Kúpszeletek egyenlete, érintői, tulajdonságai. Merőleges affinitás (alakzatok affin képének egyenlete)

Statisztika 2.

Adathalmazok jellemzése: középértékek (átlag, medián, módusz), terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás. Adathalmazok egyesítésének átlaga, szórása.

12. osztály

Függvények, analízis 7.

Felosztás, felosztás sorozat, finomítás, alsó- és felső-összeg, közelítő összeg, határozott integrál. Folytonos függvény integrálja, mint a felső határ függvénye. Primitív függvény, határozatlan integrál. Az integrálás technikája (parciális integrálás helyettesítéssel való integrálás parciális törtekre bontás, a trigonometrikus függvények inverzeinek alkalmazása). A Newton-Leibniz formula. Terület, térfogat, ívhossz, forgásfelület felszíne. Fizikai alkalmazások (munka, súlypont, tehetetlenségi nyomaték, stb.).

Térgeometria 2.

Henger, kúp, csonkakúp. Gömb és részei. Térfogat- és felszínszámítás.