Ez a rész három különböző típusú modult tartalmaz, melyek közül az egyes csoportok tudásszintjének, érdeklődésének megfelelően lehet választani:
A modul: A matematika tagozaton minden csoportban kötelező elvégezni, ütemezésük a csoport képességétől függ.
B modul: Haladó témák, az egyes csoportok tudásszintjének, érdeklődésének megfelelően lehet közülük választani.
C modul: Olyan témák, amelyek nem a matematika egy ágához kötve jelennek meg, hanem mint "gyakorlati" problémák, alkalmazási területek. Évente legalább egy ilyen modul elvégzése kötelező.
Halmazok számossága [halm01] (A) (15 óra)
Ismerkedés a végtelen halmazokkal. (Minden végtelen halmaznak van megszámlálhatóan végtelen részhalmaza.) Tetszőlegesen sok" és "végtelen sok" közti különbség. A megszámlálhatóan végtelen. Az egész számok és a természetes számok halmaza között van egy-egy értelmű leképezés. A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen. A természetes számokkal ill. a valós számokkal ekvivalens halmazok. A valós számok halmaza nem megszámlálható. A megszámlálható és a kontinuum számosság. Egyenes, szakasz (nyílt és zárt), körvonal pontjainak halmaza, körlemez és négyzet, háromszög és négyzet, stb., gömbfelület és sík, stb. poliéder és gömb, stb. pontjainak halmaza között egy-egyértelmű leképezés van. Valós számok és végtelen hosszú 0-1 sorozatok ekvivalenciája.
Összegek és szorzatok kiszámítása [ alg01 ] (A) (10 óra)
n természetes szám, négyzetszám, köbszám összege, teleszkópösszegek, a teljes indukció gyakorlására szolgáló feladatok, érdekesebb szorzatok.
Polinomok [ alg02 ] (A) (15 óra)
Magasabb fokú egyenletek megoldása. (Helyettesítéssel másodfokúra visszavezethető, szimmetrikus egyenletek). Viete-formulák. Magasabb fokú egyenletek racionális gyökei. Polinomok osztása, Horner-elrendezés. Polinomok szorzattá alakítása.
Komplex számok [ alg03 ] (A) (15 óra)
A komplex számok testének alaptulajdonságai, trigonometrikus alak, hatványozás, gyökvonás, egységgyökök. A harmadfokú egyenlet megoldása. A negyedfokú egyenlet megoldása. Gauss-egészek.
Interpoláció és approximáció [ alg04 ] (B) (10 óra)
Függvények illesztése adatpontokra. Polinomok és más görbék. Függvénytábla készítés: hiányzó függvényértékek becslése.
Polinomok számelmélete [ alg05 ] (B) (10 óra)
A számelmélet felépítése különböző polinomgyűrűkben. Irreducibilis polinomok. Körosztási polinom.
Csoportelmélet [ alg06 ] (B) (15 óra)
A csoportelmélet alapjai permutációkon, transzformációkon, műveleteken, számelméletben.
Gyűrűk [ alg07 ] (B) (10 óra)
A gyűrű definíciója, számolási szabályok. Számelmélet különböző gyűrűkben.
Kongruenciák [ szamelm01 ] (A) (20 óra)
Kongruenciák tulajdonságai, alkalmazásai oszthatósági feladatokban. Fermat-tétel, Euler-tétel, Wilson-tétel. Maradékosztályok, műveletek maradékosztályokkal.
Számelméleti függvények [ szamelm02 ] (A) (15 óra)
További számelméleti függvények (d(n) függvény, szigma(n)) függvény). Tökéletes számok, Fermat-prímek, Mersenne-prímek. Prímek eloszlása.
Kongruenciák 2. [ szamelm03 ] (B) (10 óra)
Kongruenciák haladó alkalmazásai. Kvadratikus kongruenciák megoldása prím modulus esetén, kínai maradék tétel.
Diofantikus egyenletek [ szamelm04 ] (B) (10 óra)
Diofantikus egyenletek. Pellegyenlet. Lineáris és magasabb fokú diofantikus egyenletek megoldása. Pitagoraszi számhármasok. Fermat-sejtés és Wiles-tétel.
Érdekes sorozatok [ fv01 ] (A) (10 óra)
Háromszögszámok,...,k-szög számok, piramidális számok és tulajdonságaik, Fibonacci-sorozat és tulajdonságai (összegek, oszthatóság, kapcsolat a Pascal háromszöggel).
Számsorozatok [ fv02 ] (A) (20 óra)
Konvergens és divergens sorozatok, az e szám (1+1/n)n, e irracionális, 1+1/2+1/3+...+1/n - ln n, rekurzióval definiált sorozatok és tulajdonságaik, Newton-iteráció
Trigonometrikus függvények inverzei [ fv03 ] (A) (20 óra)
Definíció, tulajdonságok, grafikonok, egyenletek, egyenlőtlenségek.
Hiperbolikus függvények és inverzeik [fv04 ] (A) (5 óra)
Definíció, tulajdonságok, grafikonok, egyenletek, egyenlőtlenségek.
Az integrál további alkalmazásai [ fv05 ] (A) (10 óra)
Példák paraméteresen adott görbék által határolt tartományok területére is. Ívhossznál az elliptikus integrál megemlítése. Tórusz, ellipszoid, forgásparaboloid térfogata.Integrál, összegek és becslések. Stirling-formula.
Síkgörbék tulajdonságai [ fv06 ] (B) (15 óra)
Síkgörbék vizsgálata a differenciálszámítás eszközeivel. Paraméteres görbék, polárkoordináták. Ciklois, lemniszkáta, ...
Végtelen sorok [ fv07 ] (B) (10 óra)
Végtelen sorok (például mértani sor), konvergencia kritériumok pozitív tagú sorozatokra, váltakozó előjelű sorok, Leibniz-típusú sor.
Hatványsorok [ fv08 ] (B) (10 óra)
Hatványsorok és alkalmazásaik. Konvergenciasugár, konvergencia tartomány, műveletek. Taylor-sor, elemi sorfejtések, alkalmazásaik közelítő számításokra, generátor függvényekre.
Lánctörtek [ fv09 ] (B) (10 óra)
Véges és végtelen lánctörtek, példák lánctört alakra (gyök(2),...). Kapcsolat az euklideszi algoritmussal, közelítő számításokkal.
Egybevágósági transzformációk egymásutánja [ geo01 ] (A) (10 óra)
Alkalmazás szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Egybevágósági transzformációk osztályozása.
Hasonlósági transzformációk, forgatva nyújtás [ geo02 ] (A) (10 óra)
Alkalmazás szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Hasonlósági transzformációk osztályozása.
Inverzió [ geo03 ] (A) (15 óra)
Az inverzió definíciója és tulajdonságai. Alkalmazások szerkesztési és bizonyítási feladatokban.
Kúpszeletek és mértani helyek [ geo04 ] (A) (10 óra)
Kúpszeletek fogalma és elemei geometriával bizonyítható tulajdonságai.
Affin és projektív transzformációk [ geo05 ] (B) (10-10 óra)
Affin és projektív transzformációk. Osztóviszony, kettősviszony. Pascal, Desargues, Papposz.
2d-3d analógiák [ geo06 ] (B) (10 óra)
Sík-tér, háromszög-tetraéder, paralelogramma-paralelepipedon.
Gömbi geometria [ geo07 ] (B) (10 óra)
A geometria fogalmainak szemléletes felépítése gömbön, elemi geometriai tételek megsejtése és bizonyítása.
Szerkesztés térben [ geo08 ] (B) (15 óra)
Ábrázoló geometria.
Vektorszorzások [ ageo01 ] (A) (15 óra)
Skaláris, vektoriális és vegyesszorzat. Fizikai alkalmazások (forgatónyomaték, Lorentz-erő, stb.)
Geometria a komplex számsíkon [ ageo02 ] (A) (10 óra)
A komplex számok alkalmazása geometriai bizonyításokban.
Transzformációk és mátrixok [ ageo03 ] (B) (15 óra)
Transzformációk mátrixa két és háromdimenziós esetben.
Másodrendű görbék [ ageo04 ] (B) (15 óra)
Másodrendű görbék osztályozása.
Projektív geometria és homogén koordináták [ ageo05 ] (B) (10 óra)
Homogén koordináták bevezetése. Projektív tételek analitikus levezetése. Alkalmazások.
Gömbi trigonometria [ ageo06 ] (B) (15 óra)
Szinusz és koszinusztétel gömbön. Távolságok és szögek meghatározása földrajzi koordináták alapján. Terület.
Determinánsok, egyenletrendszerek [ linalg01 ] (A) (15 óra)
Determináns fogalma, tulajdonságai, kiszámítása. Sarrus-szabály. Érdekes / nevezetes determinánsok. Determinánsok és egyenletrendszerek. Gauss-elimináció. Cramer-szabály.
Mátrixok [ linalg02 ] (A) (10 óra)
Mátrixműveletek. Rang. Mátrix és egyenletrendszerek. Mátrix-szorzás és lineáris transzformációk.
Lineáris programozás [linalg03] (A) (10 óra)
Lineáris célfüggvény optimalizálása két és három változóban. Megengedett pontok halmazának ábrázolása. Célfüggvény változása a megengedett halmazban lépdelve.
Mátrixok 2. [linalg04] (B) (10 óra)
Sajátérték és sajátvektor, mátrixok hatványozása.
Feltételes valószínűség [ val01 ] (A) (10 óra)
Feltételes valószínűség, Bayes-tétel.
Geometriai valószínűség [ val02 ] (A) (10 óra)
A valószínűség fogalma végtelen és nem megszámlálható eseménytér esetén. Találkozási feladatok. Darabolási feladatok.
Diszkrét eloszlások és várható érték [ val03 ] (A) (10 óra)
Binomiális, negatív binomiális, geometriai, hipergeometrikus eloszlás. Várható érték, szórás.
Leíró statisztika [ val04 ] (A) (10 óra)
Adatok szemléletes ábrázolása. Táblázatok és grafikonok. Lineáris regresszió, legkisebb négyzetek módszere, korreláció.
Bolyongások és Markov-láncok [ val05 ] (B) (10 óra)
Szimmetrikus és nem szimmetrikus bolyongások. Visszatérési probléma. Tönkremenési probléma.
Folytonos eloszlások [ val06 ] (B) (10 óra)
Normális eloszlás, exponenciális eloszlás. Várható érték és szórás. Az improprius integrál alkalmazása.
Az algoritmusok egy részét informatika órán tanulják meg a diákok. Nem kell az itt felsorolt összes algoritmust megtanítani, de fontos az algoritmikus szemlélet fejlesztése.
Számítási algoritmusok [ algo01 ] (A-B) (10 óra)
Összeadás, kivonás, szorzás és maradékos osztás papíron. Gyökvonás papíron. LNKO euklideszi algoritmussal. Gyors hatványozás mod n. Prímfelbontás és prímtesztek. Egyiptomi törtek algoritmusai. Átváltás számrendszerek között.
Kombinatorikai algoritmusok [ algo02 ] (A-B) (10 óra)
Permutációk, variációk és kombinációk felsorolása. Felsorolás minimális változással. Partíciók felsorolása (egész számé és halmazé). Utak felsorolása rácsokon. Korlátozott utak felsorolása, például Catalanszámok. Visszalépéses keresés. Rendezés, rendezési algoritmusok minimális cserével, rendezési algoritmusok korlátozott lépésekkel. Keresések, keresési algoritmusok.
Gráfalgoritmusok [ algo03 ] (A-B) (10 óra)
Gráfok reprezentációi: szomszédsági gráf és éllista. Gráfbejárások: szélességi és mélységi bejárás. Minimális összsúlyú feszítőfa. Legrövidebb utak élsúlyozott gráfokban. Topologikus rendezés. Prüfer-kód és fák felsorolása. Huffman-kód és fák. Esetleg: folyam algoritmusok.
Algoritmusok bonyolultsága [algo04] (B) (5 óra)
Algoritmusok hatékonyságának elemzése matematikai módszerekkel. Bonyolultsági osztályok.
Jól használhatók azok a 2-4 hetes témák, amelyek nem a matematika egy ágához kötve jelennek meg, hanem mint "gyakorlati" probléma. Fontos megjegyezni, hogy egy-egy téma kifejtésének mélysége attól függ, mennyit tanítottunk meg a szükséges eszközökből. Akkor érdemes elővenni egy témát, ha már tudnak annyit a diákok, hogy önálló felfedezéseket tehessenek, érezhessék, hogy matematikai alapjaik elegendőek a problémakör tartalmas feldolgozásához. Javaslat: Minden évben legyen legalább egy ilyen modul. Feltehetően 10. és 11. évfolyamon növelhető a C-modulok aránya, hiszen ekkorra már elég szélesek és erősek a matematikai alapok, és még nem kell az érettségi felkészülésre koncentrálni. Javasolt óraszám a C-modulokhoz: 10 óra, ez nagyjából három tanítási hétnek felel meg, legalább két hétvégével.
C01 Helymeghatározás
C02 Környezeti nevelés
C03 Választási matematika
C04 Ütemezési feladatok, folyamatirányítás
C05 Origami
C06 Fraktálok
C07 Szimmetriák
C08 Egyiptomi törtek
C09 Számrendszerek és naptárproblémák
C10 Titkosírások
C11 Számítógépi grafika
C12 Rácsgeometria
C13 "Sokszínű logika", adatok ábrázolása okosan
C14 Szerencsejátékok
C15 Térképek
C16 Formális nyelvek
C17 Pénzügyi matematika (kamat, jelenérték, biztosítás, kockázat és hozam)
C18 Káoszelmélet
C19 Gépi számábrázolás és aritmetika
C20 Periodikus és nem periodikus csempézések
C21 Lineáris programozás és optimalizálás
C22 Sajtó és internetes szövegek (formális) logikai elemzése
C23 Játékelmélet
C24 Diszkrét játékok nyerő stratégiája
C25 Logika, logikai kapu, logikai áramkörök
C26 Genetika, öröklődés
C27 Differenciálegyenletek
A modul-lista folyamatosan bővül a tagozaton tanító tanárok által kidolgozott témákkal.